[백준] 다리놓기 (1010번)

문제

재원이는 한 도시의 시장이 되었다. 이 도시에는 도시를 동쪽과 서쪽으로 나누는 큰 강이 흐르고 있다. 하지만 재원이는 다리가 없어서 시민들이 강을 건너는데 큰 불편을 겪고 있음을 알고 다리를 짓기로 결심하였다. 강 주변에서 다리를 짓기에 적합한 곳을 사이트라고 한다. 재원이는 강 주변을 면밀히 조사해 본 결과 강의 서쪽에는 N개의 사이트가 있고 동쪽에는 M개의 사이트가 있다는 것을 알았다. (N ≤ M)

재원이는 서쪽의 사이트와 동쪽의 사이트를 다리로 연결하려고 한다. (이때 한 사이트에는 최대 한 개의 다리만 연결될 수 있다.) 재원이는 다리를 최대한 많이 지으려고 하기 때문에 서쪽의 사이트 개수만큼 (N개) 다리를 지으려고 한다. 다리끼리는 서로 겹쳐질 수 없다고 할 때 다리를 지을 수 있는 경우의 수를 구하는 프로그램을 작성하라.

입력

입력의 첫 줄에는 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 그 다음 줄부터 각각의 테스트케이스에 대해 강의 서쪽과 동쪽에 있는 사이트의 개수 정수 N, M (0 < N ≤ M < 30)이 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해 주어진 조건하에 다리를 지을 수 있는 경우의 수를 출력한다.

예제 입력 1

3

2 2

1 5

13 29

예제 출력 1

1

5

67863915

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다리가 겹치지 않도록 놓는 문제이다.

예시를 들며 계산하면 답을 찾는 과정을 알 수 있다.

우선 dp[i][j]를 N==i , M==j 일 때 다리를 놓을 수 있는 수라고 하자. 

예를 들어, dp[2][4]를 생각해보자. 왼쪽에 두개의 지점, 오른쪽에 네개의 지점에 다리를 놓을 수 있다. 이때 각각의 제일 위쪽에 지점을 이어 다리를 하나 세워보자. 그럼 남은 지점은 1개, 3개이다. 따라서 세가지를 놓을 수 있다. 

다음으로 왼쪽은 제일 위의 지점, 오른쪽은 위에서 두번째 지점을 이어 다리를 놓아보자. 그렇다면 남은 지점은 1개 2개이다. 따라서 두가지 경우가 생긴다. 마찬가지로 왼쪽에 제일 위의 지점과, 오른쪽의 세번째 지점을 이어보면 1가지 경우가 생긴다.

즉 dp[2][4] = dp[1][3] + dp[1][2] + dp[1][1]인 것이다. 이를 점화식으로 세우면

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j-2] + ... + dp[i-1][i-1]이 된다. 이를 구현하기만 하면 되는 문제이다. 

 

다 풀고 나서 다른 사람들의 풀이를 보니까 단순한 combination을 구하는 문제와 같았다. 즉 dp[n][m] = mCn이 되는 것이다. 생각해보면 오른쪽의 m개 지점에서 n개의 지점을 골라서 왼쪽의 n개 지점과 차례대로 이어주기만 하면 되므로 Combination을 구하는 게 맞다는 것이 납득이 된다.

 

코드 원본 : https://chosh95.tistory.com/manage/newpost/?type=post&returnURL=%2Fmanage%2Fposts%2F

TISTORY

C++ 코드

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int T;
int N, M;
int dp[31][31];

void bridge()
{
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	for (int i = 0; i <= M; i++) {
		dp[i][0] = 1;
		dp[0][i] = 1;
	}
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		for (int j = 1; j <= M; j++) {
			if (i == j) dp[i][j] = 1;
			else {
				for (int k = i-1; k <= j - 1; k++) {
					dp[i][j] += dp[i - 1][k];
				}
			}
		}
	}
}
int main()
{
	cin >> T;
	while (T--) {
		cin >> N >> M;
		bridge();
		cout << dp[N][M] << endl;
	}
}